Optymalizacja Wielokryterialna: Sztuka Znajdowania Równowagi Między Zyskiem a Bezpieczeństwem

Wprowadzenie do Optymalizacji Wielokryterialnej

W świecie idealnym zawsze moglibyśmy mieć ciastko i zjeść ciastko, prawda? Marzymy o samochodzie, który jest jednocześnie potężny jak supercar, oszczędny jak mały miejski autek, ma wszystkie możliwe gadżety, a jego cena nie przekracza ceny dobrego smartfona. Niestety, rzeczywistość lubi weryfikować takie marzenia i szybko się orientujemy, że musimy iść na kompromisy. Dokładnie z tym samym wyzwaniem mierzymy się w inwestowaniu, gdzie często chcemy jednocześnie maksymalizować zyski i minimalizować ryzyko. To właśnie tutaj na scenę wkracza niezwykle przydatne narzędzie, znane jako optymalizacja wielokryterialna (z ang. multi objective optimization), które pomaga nam znaleźć sensowny kompromis w świecie pełnym sprzecznych celów.

Czym więc jest ta cała optymalizacja wielokryterialna? W dużym uproszczeniu, jest to proces poszukiwania rozwiązań, które są najlepsze jednocześnie pod względem wielu, często konkurujących ze sobą, celów. W przeciwieństwie do tradycyjnej optymalizacji, gdzie szukamy jednego, „najlepszego” wyniku (np. najwyższy zysk), tutaj akceptujemy fakt, że „najlepsze” może oznaczać różne rzeczy w różnych sytuacjach. Głównym wyzwaniem w multi objective optimization jest to, że poprawienie jednego parametru (np. zysku) często prowadzi do pogorszenia innego (np. bezpieczeństwa). To właśnie nazywamy konfliktem celów i jest to serce każdego złożonego problemu decyzyjnego. Jeżeli kiedykolwiek musiałeś podjąć decyzję, inwestując swoje ciężko zarobione pieniądze, doskonale wiesz, o czym mówię. To nie jest sucha teoria akademicka; to codzienna rzeczywistość każdego, kto chce pomnożyć swój kapitał bez niepotrzebnej utraty snu.

Weźmy prosty przykład z życia, który każdy z nas zna: kupno samochodu. Z jednej strony chcemy, aby auto było tanie w zakupie i eksploatacji (niska cena, niskie spalanie). Z drugiej strony, marzy nam się wysoki komfort, dobre wyposażenie, mocny silnik i prestiżowa marka. Te cele naturalnie kłócą się ze sobą. Samochód z bogatym wyposażeniem i potężnym silnikiem będzie drogi zarówno w zakupie, jak i utrzymaniu. Natomiast tani, ekonomiczny autek raczej nie zapewni nam adrenaliny podczas jazdy ani zachwytu sąsiadów. Musimy znaleźć punkt, w którym stosunek ceny do oferowanych benefitów jest dla nas akceptowalny. To jest właśnie praktyczne zastosowanie optymalizacji wielokryterialnej – świadome zarządzanie kompromisami. Podobnie jest w świecie finansów. Inwestor staje przed dylematem: czy chasingować jak najwyższe stopy zwrotu, akceptując przy tym duże ryzyko i potencjalnie ogromne straty, czy też może postawić na bezpieczeństwo i stabilny, ale niższy wzrost kapitału? To klasyczny konflikt między chęcią zysku a niechęcią do straty.

I tu dochodzimy do sedna: w finansach, w przeciwieństwie do prostych równań matematycznych, nie istnieje jedna, uniwersalna, „najlepsza” odpowiedź. To, co jest najlepsze dla emerytki zabiegającej o bezpieczeństwo swojego kapitału, będzie kompletnie nieodpowiednie dla młodego, agresywnego spekulanta gotowego na wysokie ryzyko. Każdy inwestor ma inną tolerancję na ryzyko, inną horyzont czasowy i inne cele finansowe. Dlatego właśnie ślepe dążenie do jednego optimum – na przykład absolutnie najwyższej historycznej stopy zwrotu – jest często receptą na katastrofę. Taka strategia, pozbawiona kontekstu ryzyka, mogła działać tylko w bardzo specyficznych warunkach rynkowych i najprawdopodobniej w przyszłości doprowadzi do ogromnych strat. Prawdziwa sztuka inwestowania polega na znalezieniu całego spektrum rozwiązań, które są w jakiś sposób „najlepsze” – czyli takich, że nie da się już poprawić jednego parametru bez pogorszenia drugiego. I to właśnie prowadzi nas do eleganckiej koncepcji, która jest fundamentem optymalizacji wielokryterialnej – frontu Pareto.

Wyobraźmy sobie front Pareto jako tę linię, na której znajdują się wszystkie „najlepsze” możliwe kompromisy. Nazwa brzmi może nieco enigmatycznie, ale idea jest genialnie prosta. Vilfredo Pareto, włoski ekonomista, zauważył, że w wielu systemach poprawa sytuacji jednego elementu odbywa się kosztem pogorszenia sytuacji innego. Przenosząc to na grunt inwestycyjny: na froncie Pareto mieszczą się wszystkie strategie inwestycyjne, które są niezlępszalne. Oznacza to, że dla danej strategii na tym froncie nie istnieje inna strategia, która zapewniałaby wyższy zysk przy takim samym lub niższym poziomie ryzyka (mierzonym np. drawdownem), ani taka, która zapewniałaby niższe ryzyko przy takim samym lub wyższym zysku. Innymi słowy, są to strategie optymalne w sensie Pareto. Znajdując ten front, zyskujemy niesamowicie potężne narzędzie. Zamiast zgadywać, która strategia jest „dobra”, otrzymujemy cały wachlarz możliwości – od ultra-safe po ultra-aggressive – i to my, jako inwestorzy, możemy świadomie wybrać, który punkt na tej linii najlepiej odpowiada naszej indywidualnej psychice i celom. To właśnie robi dla nas multi objective optimization – odsłania przed nami mapę wszystkich sensownych dróg, a nie każe iść na ślepo w jednym, rzekomo „najlepszym” kierunku.

Warto zobaczyć, jak takie konflikty i kompromisy mogą wyglądać w praktyce na uproszczonym przykładzie. Poniższa tabela prezentuje hipotetyczne wyniki różnych strategii inwestycyjnych, aby zilustrować konflikt między stopą zwrotu a maksymalnym drawdownem. Pamiętaj, że to tylko modelowe dane mające na celu unaocznić opisywane zjawisko.

Patrząc na powyższe dane, od razu widać nieubłagany konflikt. Aby osiągnąć wyższą stopę zwrotu, musiałyśmy zaakceptować znacznie głębsze potencjalne straty (drawdown). Strategia „All-In”, choć kusi najwyższym zyskiem, wiąże się z ryzykiem utraty aż dwóch trzecich kapitału w najgorszym momencie – czy jesteś gotowy psychicznie na przetrwanie takiej jazdy bez trwałej uszczerbku na nerwach i portfelu? Z drugiej strony, Strategia Ultra-Bezpieczna gwarantuje spokój, ale oferuje zysk ledwo pokrywający inflację. Gdzieś pomiędzy tymi skrajnościami leży prawdopodobnie Twój optymalny punkt – i właśnie do jego znalezienia służy optymalizacja wielokryterialna. To nie jest magia, to systematyczne, metodyczne podejście do podejmowania decyzji w złożonym świecie, gdzie proste odpowiedzi po prostu nie istnieją. To proces, który pomaga nam zrozumieć, że w inwestowaniu, podobnie jak przy wyborze samochodu, chodzi o znalezienie najlepszego dla NAS balansu, a nie ściganie się o miano tego, kto ma teoretycznie „najlepszy” wynik na papierze, który może okazać się całkowicie niepraktyczny w realnym życiu. To pierwszy, kluczowy krok do bardziej świadomego i, mam nadzieję, bardziej successfulnego zarządzania swoimi finansami.

Dwa Główne Cele: Maksymalizacja Zysku vs. Minimalizacja Drawdown

No dobrze, skoro już wiemy, że świat nie jest czarno-biały, a szukanie jednej, uniwersalnej, „najlepszej” strategii inwestycyjnej to mniej więcej taki sam poziom abstrakcji co szukanie jednorożca, czas przyjrzeć się naszym dwóm głównym bohaterom. To oni są sercem całego zamieszania i to między nimi musimy zaprowadzić jakiś porządek. Mówię oczywiście o Zysku i Drawdownie. To para, która kłóci się ze sobą przy każdej okazji, ale nie mogą bez siebie żyć. Zrozumienie ich natury to klucz do sensownego zarządzania kapitałem. I tutaj właśnie wkracza optymalizacja wielokryterialna, która nie próbuje siłą rozdzielić tej kłótliwej pary, tylko mądrze im pogodzić.

Po pierwsze, weźmy pod lupę Zysk, czyli naszego motorniczego, który ma pociąg do bogactwa. To on jest tym, dla którego w ogóle gramy na giełdzie. Mierzymy go najczęściej jako stopę zwrotu (return) – prosty procent, który mówi nam, o ile urósł (albo zmalał, o zgrozo!) nasz portfel. Każdy inwestor, od zielonego nowicjusza po ostatego weterana, chce maksymalizować zysk. To jest oczywiste, jasne i piękne. Wyobraźmy sobie strategię, która rok w rok daje 50% zwrotu. Brzmi jak sen, prawda? Ale… no właśnie, zawsze jest jakieś „ale”. I tu do akcji wkracza jego wieczny oponent – Drawdown.

Drawdown to taki czarny charakter naszej opowieści, ale w gruncie rzeczy bardzo potrzebny. To po prostu maksymalna obserwowana strata naszego portfela, mierzona od jakiegoś historycznego szczytu do najniższego dołka, zanim znów zacznie iść w górę. Wyobraź to sobie tak: wspinasz się na piękną, wysoką górę (twój portfel rośnie), ale nagle wpadasz w gigantyczną dziurę (rynek się załamuje). Głębokość tej dziury to właśnie drawdown. A dlaczego jest taki ważny? Bo mierzy nie tyle teoretyczne ryzyko, co prawdziwy, fizyczny ból i strach. Duży drawdown potrafi psychicznie złamać nawet najbardziej twardziela i zmusić go do panicznej wyprzedaży aktywów na samym dnie, grzebiąc szansę na odrobienie strat. Dlatego drugim, absolutnie kluczowym celem jest minimalizacja drawdownu. Chcemy, żeby nasze spadki były jak najmniejsze i jak najpłytsze.

I tu właśnie dochodzimy do sedna całego konfliktu, który jest idealnym polem do zastosowania optymalizacji wielokryterialnej. Otóż zysk i drawdown są ze sobą w stałym, nieuniknionym konflikcie. Nazywa się to kompromisem (trade-off). Generalnie rzecz biorąc, strategie, które mają *potencjał* na bardzo wysokie zyski, są zwykle też bardzo agresywne i ryzykowne – a co za tym idzie, narażone na ogromne, głębokie drawdawny. Weźmy przykład ekstremalny: strategię polegającą na inwestowaniu 100% kapitału w bardzo zmienne, spekulacyjne aktywa (np. kryptowaluty lub pojedyncze spółki technologiczne).

Oto jak mogłaby to zobrazować szczegółowa analiza, pokazująca, jak różne poziomy ekspozycji na ryzyko (np. poprzez alokację do akcji) wpływają na historyczne wyniki teoretycznego portfela. Pamiętaj, to są dane poglądowe, które świetnie ilustrują omawianą zależność.

Wracając do naszej opowieści, strategia hyper agresywna z tabeli – ta, która teoretycznie może dać 15% średniorocznego zysku – wiąże się z ryzykiem utraty 80% wartości portfela w najgorszym momencie. Wyobrażasz to sobie? Inwestujesz 100 000 zł, a po jakimś czasie krzyku na rynku zostaje ci 20 000 zł. Nawet jeśli później będzie świetnie rosło, to odrobienie straty z poziomu -80% wymaga zysku na poziomie +400% (tak, czterysta procent!) tylko po to, żeby wrócić do punktu wyjścia. To jest matematyczny horror. Z drugiej strony, portfel ultra konserwatywny nigdy nie stracił więcej niż 5%, co jest bardzo komfortowe psychicznie, ale jego zysk ledwo przebija inflację, co oznacza, że tak naprawdę twój kapitał nie rośnie w sposób znaczący. I właśnie w tym momencie dostrzegamy piękno i konieczność zastosowania optymalizacji wielokryterialnej. Nie chodzi o to, by bezrefleksyjnie gonić za najwyższym zyskiem, bo to prosta droga do finansowej katastrofy. Ale nie chodzi też o to, by tak panicznie bać się straty, że nasze pieniądze de facto tracą na wartości. Prawdziwa sztuka inwestowania polega na znalezieniu *rozsądnego kompromisu* pomiędzy tymi dwoma skrajnościami. Na znalezieniu takiej strategii, która dla akceptowalnego dla nas poziomu maksymalnego drawdownu (powiedzmy, że jesteśmy w stanie znieść psychicznie stratę 20%) da nam *najwyższy możliwy* zysk. I odwrotnie – dla oczekiwanego przez nas poziomu zysku (powiedzmy 7% rocznie) znajdzie strategię o *najniższym możliwym* drawdownie. I to jest właśnie esencja całego zamieszania. To nie jest szukanie jednego, idealnego punktu, bo ten nie istnieje. To jest szukanie całej gamy rozwiązań, które w inteligentny sposób godzą te dwa sprzeczne cele. I właśnie do tego procesu poszukiwania tej gamy rozwiązań idealnie nadaje się optymalizacja wielokryterialna, która pozwala nam mapować te wszystkie możliwe kompromisy. To podejście, w przeciwieństwie do tradycyjnego, nie pyta "jaki jest najwyższy zysk?", tylko "jaki jest najwyższy zysk, który mogę osiągnąć, nie tracąc przy tym więcej niż X%?" albo "jaka jest najmniejsza strata, jaką muszę ponieść, aby osiągnąć zwrot na poziomie Y%?". To zupełnie inny, znacznie bardziej dojrzały i – co ważne – praktyczny sposób patrzenia na inwestowanie. Dlatego właśnie optymalizacja wielokryterialna jest tak kluczowym narzędziem dla każdego, kto poważnie podchodzi do zarządzania swoimi pieniędzmi. Pozwala ona porzucić mrzonkę o "jednym najlepszym rozwiązaniu" i skupić się na prawdziwym wyzwaniu: znalezieniu *naszego* najlepszego kompromisu. A jak możemy zwizualizować wszystkie te możliwe kompromisy? Cóż, na to pytanie odpowie następny rozdział i koncepcja, która jest sercem każdego problemu optymalizacji wielokryterialnej – front Pareto. Ale to już zupełnie inna historia, którą opowiemy za chwilę.

Front Pareto: Gdzie Mieszkają Wszystkie Dobre Kompromisy

No dobrze, skoro już wiemy, że świat inwestowania to nieustanna walka między chciwością a strachem, między chęcią maksymalnego zysku a pragnieniem uniknięcia bolesnych strat, czas zapytać: "I co teraz z tym fantem zrobić?". Czy musimy po prostu rzucić monetą i wybrać albo ogromny zysk z potwornym drawdownem, albo nikły zysk z poczuciem bezpieczeństwa? Na szczęście nie. Z pomocą przychodzi cała, potężna gałąź matematyki i informatyki, zwana optymalizacją wielokryterialną (multi objective optimization), która specjalizuje się w szukaniu rozsądnych kompromisów w takich właśnie sytuacjach. I jej najważniejszym, wręcz fundamentalnym konceptem jest coś, co nazywa się Front Pareto. Brzmi tajemniczo? Może trochę, ale zaraz wszystko stanie się jasne i, mam nadzieję, nawet dosyć zabawne.

Wyobraźmy sobie, że jesteśmy na ogromnym targu z strategiami inwestycyjnymi. Każdy sprzedawca krzyczy: "Kup moją strategię, mam najwyższy zysk!" albo "Wybierz mnie, moja maksymalna strata jest najniższa!". My, jako rozsądni inwestorzy, chodzimy od stoiska do stoiska i patrzymy na dwie główne cechy każdej strategii: historyczny zysk i historyczny drawdown. W pewnym momencie zauważamy coś ciekawego. Jest taki jeden sprzedawca, powiedzmy Pan A, który oferuje strategię z zyskiem 8% i drawdownem 5%. Nagle podbiega do nas inny, Pan B, i mówi: "Nie słuchaj go, moja strategia ma LEPSZY zysk, bo 9%, i drawdown taki sam, tylko 5%!". I ma rację! Jego strategia jest obiektywnie lepsza pod każdym względem – więcej zysku przy tym samym poziomie ryzyka. W języku optymalizacji wielokryterialnej mówimy, że strategia Pana B dominuje strategię Pana A. Pan A, zawstydzony, szybko pakuje swój towar i znika. Ale zaraz pojawia się Pan C: "Moi panowie, moja strategia: zysk 10%, ale drawdown 7%". Hmm, to już nie jest tak oczywiste. Ma wyższy zysk niż Pan B (10% vs 9%), ale także wyższy drawdown (7% vs 5%). Nie możemy powiedzieć, że jest lepsza lub gorsza. Jest po prostu inna. I tu dochodzimy do sedna: rozwiązanie niezdominowane to takie, wobec którego nie istnieje żadne inne rozwiązanie, które byłoby lepsze przynajmniej pod względem jednego celu (np. wyższy zysk), nie będąc jednocześnie gorszym pod względem żadnego innego celu (np. drawdownu). Innymi słowy, nie da się już "poprawić" zysku bez pogorszenia drawdownu i na odwrót. To są właśnie te sensowne, rozsądne kompromisy.

A teraz wyobraźmy sobie, że zbieramy wszystkie takie "rozsądne" strategie, te niezdominowane, które przetrwały bezlitosną presję rynkowej logiki. Zbieramy je wszystkie w jedno miejsce. I co otrzymujemy? Otrzymujemy właśnie Front Pareto! To jest zbiór wszystkich najlepszych możliwych kompromisów. To taki elitarny klub, do którego nie dostanie się byle strategia. Aby dołączyć, musisz być naprawdę dobra w tym, co robisz – musisz oferować najlepszy możliwy zysk dla danego poziomu drawdownu lub najlepszy (najniższy) możliwy drawdown dla danego poziomu zysku. Gdybyśmy chcieli to narysować (a często się to roboi!), dla naszego problemu zysk-drawdown, oś X (pozioma) przedstawiałaby Drawdown (im dalej w prawo, tym gorzej), a oś Y (pionowa) przedstawiałaby Zysk (im wyżej, tym lepiej). Front Pareto byłby wtedy piękną, elegancką krzywą, najczęściej rosnącą, która ciągnie się od lewego dolnego rogu (strategie ultra-safe, z małym zyskiem i mikroskopijnym drawdownem) do prawego górnego rogu (strategie ultra-agresywne, z gigantycznym *potencjalnym* zyskiem i równie gigantycznym drawdownem). Każdy punkt na tej krzywej to jedna konkretna, optymalna strategia. I teraz najważniejsze: nie ma jednego, obiektywnie najlepszego punktu na tym froncie. Wszystkie są tak samo "optymalne" z matematycznego punktu widzenia. Wybór pomiędzy nimi to już nie kwestia matematyki, a psychologii i osobistych preferencji.

I tutaj dochodzimy do roli inwestora, czyli... Ciebie! Zadaniem systemu opartego na multi objective optimization nie jest znalezienie dla Ciebie "magicznej formuły", "świętego Graala" czy kamienia filozoficznego, który da Ci 100% zysku i 0% straty. To jest fizycznie niemożliwe. Jego zadaniem jest precyzyjne wyznaczenie tego Frontu Pareto, czyli pokazanie Ci całej palety *najlepszych możliwych* opcji. A Twoim zadaniem jest wybrać jeden punkt na tej krzywej, który najbardziej pasuje do Twojej osobowości, apetytu na ryzyko, horyzontu inwestycyjnego i... żołądka. Bo musisz być świadomy, że jeśli wybierzesz punkt z prawego górnego rogu (wysoki zysk, wysoki drawdown), to musisz być gotowy na przetrwanie okresów, gdy Twój portfel będzie w głębokiej czerwieni, być może nawet o 30, 40 czy 50%. Czy dasz radę psychicznie to znieść i nie sprzedać wszystkiego na samym dnie? Jeśli nie, to ten punkt, mimo że matematycznie optymalny, jest dla Ciebie zły. Być może Twój optymalny punkt leży bardziej w lewo, gdzie zysk jest niższy, ale spisziesz spokojnie w nocy. To właśnie jest piękno optymalizacji wielokryterialnej – odsłania przed nami całą prawdę o dostępnych opcjach i oddaje sterowanie w nasze ręce, uzbrajając nas w wiedzę, a nie iluzje.

Podejście multi objective optimization do problemów inwestycyjnych fundamentalnie zmienia perspektywę. Zamiast szukać jednej, mitycznej "najlepszej" strategii, akceptujemy fakt, że trade-off między zyskiem a ryzykiem jest nieodłącznym elementem gry. Front Pareto jest namacalnym, wizualnym dowodem na tę prawdę. To mapa skarbów, na której zaznaczone są wszystkie skarby, ale to od nas zależy, który wykopiemy, biorąc pod uwagę, jak głęoko jesteśmy gotowi kopać i ile niebezpieczeństw jesteśmy w stanie znieść. To bardzo ludzkie i bardzo praktyczne podejście.

W praktyce, wyznaczenie dokładnego Frontu Pareto dla realnych, złożonych strategii handlowych z wykorzystaniem dziesiątek parametrów jest zadaniem niezwykle wymagającym obliczeniowo. To nie jest tak, że możemy po prostu podstawić wszystko do jednego wzoru i gotowe. Wymaga to zastosowania zaawansowanych algorytmów, często opartych na metaheurystykach, które potrafią "przeszukać" ogromną przestrzeń możliwych rozwiązań i wyłuskać te niezdominowane. Ale o tym, jak te algorytmy działają i które z nich są najpopularniejsze, opowiemy w kolejnym segmencie naszej opowieści o optymalizacji wielokryterialnej. Teraz najważniejsze jest, aby zapamiętać samą ideę frontu – to jest nasz kompas i mapa w jednym, narzędzie, które pozwala nam podejmować świadome, a nie przypadkowe decyzje w świecie inwestycji.

Algorytmy Rozwiązujące Problem: Od NSGA-II do MOEA/D

No dobrze, skoro już wiemy, czym jest ten tajemniczy i piękny front Pareto – ta mapa wszystkich najlepszych możliwych kompromisów między zyskiem a drawdown – to czas na najważniejsze pytanie: jak go właściwie znaleźć? Bo przecież nie będziemy tego robić ręcznie, przeszukując nieskończoną liczbę kombinacji wag aktywów w portfelu. To tak, jakbyśmy próbowali ziarnko po ziarnku przesiać piasek na całej Saharze w poszukiwaniu jednego, specyficznego złotego ziarna. Marny to pomysł. Na szczęście z pomocą przychodzą nam zaawansowane narzędzia, które robią to za nas – algorytmy optymalizacji wielokryterialnej (multi objective optimization).

Dlaczego zwykłe, klasyczne metody optymalizacji, które świetnie radzą sobie z problemami z jednym celem, kompletnie się tutaj wykładają? Wyobraźcie sobie, że chcemy znaleźć najwyższy szczyt w Górach Skalistych. Klasyczna metoda to jak wspinaczka z przewiązką – idziemy cały czas pod górę, aż w końcu dotrzemy na szczyt. Ale w problemie optymalizacji wielokryterialnej to tak, jakbyśmy chcieli znaleźć nie jeden szczyt, a cały łańcuch górski, gdzie każdy szczyt jest pod jakimś względem "najlepszy". Nie ma jednej, prostej ścieżki. Gdybyśmy zastosowali prostą matematykę i próbowali np. scalić oba cele w jeden (tzw. skalaryzacja), na przykład tworząc funkcję "zysk minus drawdown", od razu postawilibyśmy ogromne założenie: że jesteśmy w stanie precyzyjnie określić, ile drawdownu jest warte np. 1% dodatkowego zysku. A to jest niezwykle subiektywne i bardzo ryzykowne! Tracilibyśmy z oczu całą paletę interesujących kompromisów, skupiając się tylko na jednym, arbitralnie wybranym punkcie. Prawdziwa moc optymalizacji wielokryterialnej leży właśnie w odkryciu wszystkich tych punktów, a nie jednego.

I tutaj wkraczają na scenę prawdziwi giganci – algorytmy ewolucyjne (EA). Nazwa brzmi poważnie, ale idea jest genialnie prosta i zaczerpnięta z natury. To tak jakbyśmy urządzili "Darwinowski konkurs" na najlepszy portfel inwestycyjny. Algorytm tworzy początkowo losową populację rozwiązań (czyli zestaw różnych portfeli o różnych wagach aktywów). Następnie te "portfele" są oceniane – patrzymy, jaki mają zysk i jaki drawdown. Te najlepsze (czyli niezdominowane) mają większą szansę na "rozmnożenie" – czyli na przekazanie swoich "genów" (cech, wag) kolejnemu pokoleniu. Przez kolejne iteracje (pokolenia) populacja ewoluuje, coraz bardziej zbliżając się do wymarzonego frontu Pareto. Zalety? Algorytmy ewolucyjne świetnie radzą sobie z dużymi, złożonymi przestrzeniami poszukiwań, nie wymagają gładkich funkcji (a te finansowe z pewnością gładkie nie są!) i, co najważniejsze, znajdują całe spektrum rozwiązań w ramach jednego uruchomienia. Są jak doskonały łowczy, który zamiast jednego króliczka, przynosi nam od razu cały zwierzyniec do wyboru.

Jeśli algorytmy ewolucyjne to drużyna piłkarska, to NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II) jest jej kapitanem i największą gwiazdą. To chyba najpopularniejszy i najbardziej ceniony algorytm w świecie optymalizacji wielokryterialnej. Na czym polega jego fenomen? Jego siła kryje się w dwóch kluczowych mechanizmach. Po pierwsze, stosuje tak zwane sortowanie niezdominowane. Wyobraźcie sobie, że bierzemy całą naszą populację portfeli i sortujemy ją w "warstwy". Do pierwszej, elitarnej warstwy trafiają wszystkie rozwiązania niezdominowane (czyli te, które są na aktualnym przybliżeniu frontu Pareto). Do drugiej warstwy trafiają te, które zostały zdominowane przez te z pierwszej, ale są najlepsze wśród pozostałych. I tak dalej. Po drugie, NSGA-II używa brilliantnie prostego pomysłu na utrzymanie różnorodności rozwiązań – crowding distance, czyli miary "zatłoczenia". Algorytm faworyzuje rozwiązania, które znajdują się w mniej zatłoczonych rejonach frontu, dzięki czemu nie zlepiają nam się one wszystkie w jednym punkcie, a są ładnie rozłożone, pokazując nam pełen wachlarz możliwości. Dzięki temu dostajemy nie tylko rozwiązania efektywne, ale też reprezentujące skrajnie różne podejścia – od super ostrożnych po szaleńczo agresywne.

Oczywiście świat algorytmów nie kończy się na NSGA-II. Innym, bardzo ciekawym i potężnym podejściem jest MOEA/D (Multi-objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition). Jego filozofia jest nieco inna. Zamiast traktować problem jako całość, MOEA/D "rozkłada" problem wielokryterialny na wiele podproblemów z pojedynczym celem. Brzmi skomplikowanie? W praktyce chodzi o to, że algorytm tworzy wiele różnych "zadań" – każde z nich to poszukiwanie portfela optymalnego dla nieco innej preferencji między zyskiem a drawdownem (np. raz szukamy portfela, który maksymalizuje zysk, ale z lekką wagą dla drawdownu, innym razem minimalizujemy drawdown, ale z lekką wagą dla zysku). Te podproblemy są rozwiązywane równolegle, a algorytm pozwala im na wymianę informacji. To tak, jakbyśmy zatrudnili wiele zespołów detektywów, z których każdy szuka nieco innego podejrzanego, ale wszyscy cały czas wymieniają się notatkami i tropami. MOEA/D bywa niezwykle efektywny obliczeniowo, szczególnie dla problemów z bardzo dużą liczbą celów.

Jak więc wygląda taki proces optymalizacji wielokryterialnej krok po kroku, od kuchni? Wyobraźmy to sobie na spokojnie:

1. Przygotowanie surowca: Wybieramy nasze aktywa (akcje, ETFy, obligacje, cokolwiek) i zbieramy ich historyczne dane (stopy zwrotu).
2. Zakładamy "hodowlę": Inicjujemy algorytm (np. NSGA-II) z populacją losowych portfeli. Każdy portfel to wektor wag (np. 30% Apple, 20% Tesla, 50% obligacje skarbowe).
3. Selekcja naturalna: Dla każdego portfela w populacji przeprowadzamy symulację (backtesting) na historycznych danych. Mierzymy dwa cele: całkowity zysk i maksymalny drawdown.
4. Walka o byt: Algorytm porównuje wszystkie portfele i klasyfikuje je, znajdując te niezdominowane (czyli nasz tymczasowy front Pareto) i obliczając crowding distance.
5. Rozmnażanie: Najlepsze osobniki (portfele) są wybierane do "rozmnożenia". Używane są operatory genetyczne: krzyżowanie(czyli mieszanie wag dwóch portfeli-rodziców, by stworzyć nowy, "dziecięcy" portfel) i mutacja (czyli wprowadzenie małej, losowej zmiany w wagach, by odkrywać nowe rejony przestrzeni poszukiwań).
6. Ewolucja: Stworzone nowe pokolenie zastępuje stare (lub jego część) i cały proces powtarza się od punktu 3. przez setki lub tysiące iteracji.
7. Cel: Po zakończeniu działania algorytmu (np. po osiągnięciu maksymalnej liczby pokoleń) otrzymujemy finalny, przybliżony front Pareto – czyli zestaw portfeli reprezentujących najlepsze możliwe kompromisy, gotowy do analizy przez inwestora.

Dla wszystkich miłośników twardych danych i porządkujących wszystko tabel, oto jak mogłaby wyglądać teoretyczna, uproszczona ewaluacja kilku rozwiązań znalezionych przez algorytm MOO na przestrzeni jednego pokolenia. Pamiętajcie, że to tylko migawka z bardzo długiego procesu!

Widzicie to? Portfele P002, P004 i P005 są w warstwie pierwszej – są niezdominowane. Żaden nie jest lepszy we wszystkich aspektach od drugiego. P002 oferuje wyższy zysk niż P004, ale za wyższą cenę drawdownu. P005 jest gdzieś pomiędzy. Portfel P001 jest zdominowany (prawdopodobnie przez P005, który ma lepszy zysk przy niższym drawdownie), więc trafia do drugiej warstwy. Agresywny portfel P003, mimo wysokiego zysku, został zepchnięty do warstwy trzeciej przez potworny drawdown. "Crowding Distance" pomaga algorytmowi zachować różnorodność – portfel P004, który jest na skraju (najniższy drawdown), ma wysoką wartość, podobnie jak P002 (wysoki zysk). To właśnie ta mechanika pozwala algorytmom takim jak NSGA-II tak skutecznie mapować front Pareto dla naszego problemu optymalizacji wielokryterialnej.

Praktyczny Przykład: Optymalizacja Portfela Inwestycyjnego

No dobrze, po tej solidnej porcji teorii o algorytmach, czas najwyższy zobaczyć, jak to całe multi objective optimization działa w praktyce! Wyobraźmy sobie, że jesteś inwestorem, który ma do dyspozycji 100 000 zł i chce je mądrze ulokować. Masz do wyboru kilka funduszy inwestycyjnych: jeden agresywny, oparty na akcjach technologicznych, drugi bardziej stabilny, oparty na obligacjach skarbowych, i trzeci, mieszany, dla zachowania równowagi. Twój broker cały czas mówi Ci o maksymalizacji zysku, ale Ty, jako osoba która już raz poczuła ból straty, boisz się ogromnego drawdownu. I tutaj właśnie wkracza nasza bohaterka – optymalizacja wielokryterialna. Nie musisz już wybierać ślepo między „wszystko albo nic”. MOO pozwoli nam znaleźć całą gamę portfeli, od super ostrożnych po szaleńczo agresywne, i to w jednym, automatycznym procesie. Brzmi jak magia? To tylko matematyka! W tym paragrafie krok po kroku prześledzimy, jak zastosować multi objective optimization do budowy portfela, który szanuje zarówno Twój portfel, jak i Twoje nerwy.

Zaczynamy oczywiście od zdefiniowania problemu. To jak przygotowanie listy zakupów przed wielkim gotowaniem. Naszymi „składnikami” są trzy aktywa: Akcje Tech (AT), Obligacje Skarbowe (OS) i Fundusz Mieszany (FM). Aby algorytm miał na czym pracować, potrzebujemy danych historycznych – powiedzmy, że bierzemy pod lupę ostatnie 5 lat notowań. To nasza baza, nasze „laboratorium”. Każde z tych aktywów ma swoją historię zwrotów i drawdownów, które posłużą do symulacji. Kluczowym elementem są tutaj wagi. To właśnie one mówią, jaki procent Twojego kapitału (np. 30%, 50%, 20%) ma trafić na które aktywo. Zadaniem algorytmu jest znalezienie nie jednego, ale wielu zestawów tych wag, które będą dla nas atrakcyjne. I tu dochodzimy do sedna: naszych celów. W klasycznym ujęciu mielibyśmy jeden – np. maksymalizuj zysk. My mamy dwa, które są ze sobą w konflikcie:

1. Maksymalizacja oczekiwanego rocznego zwrotu : Chcemy, aby nasze pieniądze jak najwięcej zarabiały. Im wyższy zwrot, tym lepiej!
2. Minimalizacja maksymalnego drawdownu (MDD) : Chcemy, aby w najgorszym możliwym scenariuszu, strata naszego portfela była jak najmniejsza. Im niższy MDD, tym spokojniejszy sen.

Gdy mamy już zdefiniowany problem, przychodzi czas na główne danie – uruchomienie algorytmu. Wyobraź sobie, że algorytm NSGA-II, o którym mówiliśmy wcześniej, to teraz Twój osobisty, superwydajny asystent inwestycyjny. Jego zadanie jest proste: wygenerować setki, a nawet tysiące różnych portfeli, każdy z innymi wagami (np. [60% AT, 20% OS, 20% FM], [25% AT, 60% OS, 15% FM] itd.). Dla każdego z tych portfeli przeprowadza on symulację (czyli swego rodzaju backtesting) na historycznych danych. Na podstawie tej symulacji oblicza dwa kluczowe parametry: oczekiwany zwrot i maksymalny drawdown. Teraz zaczyna się magia sortowania. Algorytm nie patrzy na portfele pojedynczo, tylko grupowo. Szuka tych, które są „niedominowane”. Co to znaczy? To znaczy, że nie istnieje inny portfel, który byłby LEPSZY pod względem OBU celów jednocześnie. Na przykład, jeśli jeden portfel ma zwrot 10% i MDD 15%, a drugi ma zwrot 12% i MDD 14%, to ten drugi jest lepszy w obu kategoriach, więc „dominuje” nad tym pierwszym i ten pierwszy jest odrzucany. Po wielu iteracjach i ewolucji (stąd „ewolucyjne”), algorytm znajduje cały zbiór portfeli, które nawzajem się nie dominują. Ten zbiór to właśnie przybliżony front Pareto – najcenniejszy wynik całego procesu multi objective optimization. To tak, jakbyś kazał asystentowi przetestować wszystkie możliwe kombinacje składników i wybrał dla Ciebie tylko te potrawy, które są naprawdę wyjątkowe – żadna nie jest bezwzględnie lepsza od drugiej, po prostu są… różne.

Po zakończeniu pracy przez algorytm, otrzymujemy wyniki. I to nie jeden „najlepszy” wynik, a cały ich zestaw! Wyobraź to sobie jako menu w najlepszej restauracji świata. Zamiast jednego dania, kelner (algorytm) przynosi Ci kilkanaście, każde reprezentujące inny kompromis między zyskiem a ryzykiem. Na wykresie, gdzie oś X to maksymalny drawdown (ryzyko, strata), a oś Y to oczekiwany zwrot (zysk), zobaczysz piękny łuk punktów. To jest nasz front Pareto. Każdy punkt na tym łuku to jeden konkretny portfel inwestycyjny z konkretnymi wagami. Po lewej stronie wykresu, w obszarze niskiego drawdownu, będą portfele konserwatywne. Będą się składały głównie z bezpiecznych obligacji, ich zwrot będzie raczej skromny, ale za to będziesz spał spokojnie, bo nawet w czasie krachu stracisz tylko kilka procent. Idąc w prawo, w stronę wyższego drawdownu, trafisz na portfele umiarkowane. Mają wyższy oczekiwany zwrot, ale kosztem większych, okresowych spadków wartości. Na samym końcu, po prawej stronie, czekają portfele agresywne. Tutaj królują akcje, zwrot potencjalnie jest najwyższy, ale przygotuj się na dziką jazdę i momenty, gdzie strona z saldem konta może Cię przyprawić o zawrót głowy (drawdown może sięgać nawet 30-40% lub więcej). Piękno multi objective optimization polega na tym, że pokazuje Ci CAŁY wachlarz możliwości. Nie mówi: „inwestuj tak”. Mówi: „Jeśli zależy Ci głównie na bezpieczeństwie, wybierz ten portfel. Jeśli jesteś żądny przygód i zysku, ten może być dla Ciebie. A jeśli chcesz czegoś pomiędzy, masz dziesiątki opcji do wyboru”.

Okej, mamy te wyniki, to piękne punkciki na wykresie. I co dalej? Jak tak naprawdę wybrać ten jeden, finalny portfel? Algorytm swoje zrobił, teraz czas na Ciebie. To moment, w którym multi objective optimization staje się potężnym narzędziem decyzyjnym, a nie automatycznym wyrocznią. Musisz zajrzeć w głąb siebie i zadać sobie kilka ważnych pytań. Jakie jest moje rzeczywiste tolerance for risk? Czy jestem w stanie znieść widok 20% straty na koncie bez paniki i wyprzedawania wszystkiego w najgorszym możliwym momencie? Jaki jest mój horyzont inwestycyjny? Jeśli inwestujesz na 20 lat, możesz pozwolić sobie na większą zmienność, bo rynek ma czas, aby się odbić. Jeśli jednak potrzebujesz tych pieniędzy za 3 lata na wkład własny do mieszkania, agresywny portfel to zły pomysł. Analizując front Pareto, możesz świadomie wybrać punkt, który najlepiej odpowiada Twojej osobowości i celom. Możesz też podejść do tego bardziej metodycznie. Na przykład, możesz wybrać portfel, który maksymalizuje tzw. współczynnik Sharpe'a (zysk względem ryzyka) lub po prostu zdecydować: „Akceptuję maksymalny drawdown na poziomie nie wyższym niż 15%” i znaleźć portfel na froncie Pareto, który przy tym drawdownie oferuje najwyższy możliwy zwrot. To jest właśnie siła tego podejścia – multi objective optimization dostarcza Ci obiektywnych danych, a Ty, opierając się na swoich subiektywnych preferencjach, podejmujesz finalną, w pełni świadomą decyzję. To o wiele lepsze niż rzucanie monetą lub ślepe podążanie za radą „eksperta” z telewizji.

Aby to wszystko lepiej zobrazować, spójrzmy na poniższą tabelę. Przedstawia ona pięć przykładowych portfeli znalezionych przez algorytm NSGA-II podczas procesu multi objective optimization. Każdy reprezentuje inny punkt na froncie Pareto, od superbezpiecznego do maksymalnie agresywnego. Dane są oczywiście przykładowe, ale doskonale pokazują, jak zmienia się alokacja i kluczowe parametry w zależności od przyjętej strategii.

Patrząc na tę tabelę, proces wyboru staje się bardzo namacalny. Widzisz jasno, że aby dostać dodatkowe 2.6% zwrotu (przejście z portfela konserwatywnego na zrównoważony-umiarkowany), musisz zaakceptować niemal dwukrotnie wyższy maksymalny drawdown (z 4.8% na 8.5%). To jest właśnie ten kompromis, o którym cały czas mówimy. Każda decyzja o przesunięciu się w prawo po froncie Pareto (w stronę wyższego zysku) wiąże się z konkretną ceną w postaci wyższego ryzyka straty. Dzięki multi objective optimization i takim wizualizacjom, ta cena nie jest już niewiadomą. Jest precyzyjnie oszacowana i przedstawiona czarno na białym. Możesz więc usiąść z kubkiem herbaty, spokojnie przeanalizować te opcje i wybrać tę, która nie będzie Cię stresować, a jednocześnie da Ci satysfakcjonujący zwrot. To jest prawdziwa wartość dodana tego podejścia – zamienia ona inwestowanie z gry w ruletkę w świadomy proces projektowania swojej finansowej przyszłości, gdzie ryzyko jest kontrolowane i zrozumiane, a nie ignorowane.

Podsumowanie: Znajdź Swoją Własną Optymalną Ścieżkę

W poprzednim rozdziale zobaczyliśmy, jak algorytm NSGA-II mozolnie przeczesuje przestrzeń możliwych alokacji, by na końcu wypluć przed nami ten piękny, lśniący front Pareto. Mamy teraz przed sobą całą gamę portfeli: od takich, które śpią spokojnie jak niemowlę, nawet podczas krachu na giełdzie (niski drawdown, ale i niższy zysk), po takie, które przypominają jazdę kolejką górską po trzęsieniu ziemi (wysoki zysk, ale i ryzyko utraty dużego kapitału). I teraz pojawia się sedno sprawy: który z nich wybrać? I tu dochodzimy do najważniejszej lekcji, jaką niesie ze sobą multi objective optimization – ona nie powie ci, który portfel jest „najlepszy”. Nikt ci tego nie powie. To trochę jak z wyborem lodów – czy lepsza jest pistacjowa, czy może malinowa? To zależy całkowicie od tego, co lubisz. Algorytm multi objective optimization działa podobnie: nie produkuje jednej, cudownej, uniwersalnej odpowiedzi. Zamiast tego daje ci coś o wiele cenniejszego – narzędzie decyzyjne i władzę nad świadomym wyborem.

Pomyśl o tym w ten sposób. Tradycyjne, pojedyncze optymalizacje często próbują spłaszczyć cały problem do jednego liczbowego wyniku, na przykład maksymalizując współczynnik Sharpe’a. To tak, jakbyś próbował opisać całą pizzę smakiem tylko sera. Coś ci umyka, prawda? Multi objective optimization przeciwnie – pokazuje ci cały spektrum smaków, całą pizzę ze wszystkimi składnikami. Ona przenosi ciężar decyzji z męczącego i często niemożliwego „szukania obiektywnie najlepszego rozwiązania” na o wiele przyjemniejsze i bardziej ludzkie „wybieranie najlepszej opcji dla siebie” spośród wielu uczciwych i sensownych kompromisów. To fundamentalna różnica w filozofii. Przestajesz być biernym odbiorcą wyniku z „czarnej skrzynki”, a stajesz się aktywnym architektem własnej strategii inwestycyjnej, w pełni świadomym jej mocnych stron i kompromisów. To jest właśnie esencja świadomej decyzji inwestycyjnej.

Jak więc przełożyć to na praktykę? Stoisz przed tym frontem Pareto, pełnym kropek, każda reprezentująca inny portfel. Twoim zadaniem nie jest znalezienie tej jedynej, ale zrozumienie, co każda z nich dla ciebie oznacza. To moment, w którym twoje preferencje inwestora wysuwają się na pierwszy plan. Musisz zadać sobie kilka kluczowych pytań: Jak głęboko jestem w stanie znieść spadek wartości mojego portfela, zanim zacznę panikować i podejmę emocjonalną, złą decyzję? Czy cel, dla którego inwestuję (emerytura za 30 lat, zakup mieszkania za 5 lat), pozwala mi na agresywniejszą grę? Czy mój charakter jest bardziej „żółwiem” czy „gepardem”? Odpowiedzi na te pytania nie ma w danych historycznych ani w równaniach algorytmu. Są w tobie. I to jest piękne. Multi objective optimization dostarcza ci obiektywnych danych, ale finalny wybór należy do subiektywnego, ludzkiego osądu. To połączenie chłodnej kalkulacji maszyny z gorącym sercem i umysłem inwestora jest tym, co tworzy prawdziwą alchemię skutecznego inwestowania.

Dlatego gorąco zachęcam – nie kończ na tym jednym uruchomieniu algorytmu. Eksperymentuj! To dopiero początek zabawy. Spróbuj dodać do swojego modelu trzecie kryterium, na przykład minimalizację kosztów transakcyjnych lub maksymalizację dywidend. Zmień okres historyczny backtestu i zobacz, jak stabilne są twoje optymalne portfele – czy te znalezione na danych z hossy sprawdzą się również w okresie bessy? Przetestuj różne ograniczenia, na przykład zakaz krótkiej sprzedaży czy maksymalny udział pojedynczego aktywa. Prawdziwa moc multi objective optimization ujawnia się, gdy potraktujesz ją jako dynamiczne laboratorium do testowania swoich hipotez i granic własnej tolerancji ryzyka. Im więcej takich eksperymentów przeprowadzisz, tym głębsze zrozumienie własnej strategii i własnych reakcji nabierzesz. To jest nieoceniona wartość dodana.

Pamiętaj, że samo narzędzie, jakim jest multi objective optimization, również ma swoje ograniczenia. Jego wyniki są tak dobre, jak dane, które do niego włożysz, oraz założenia, które przyjąłeś. „Śmieci wpuszczone do maszyny, śmieci wyjdą z maszyny” – ta stara prawda informatyki wciąż obowiązuje. Model zakłada, że przyszłość będzie choć trochę przypominać przeszłość, co, jak wiemy, nie zawsze jest prawdą. Dlatego front Pareto należy traktować jako znakomity punkt wyjścia do dyskusji, a nie jako nieomylną wyrocznię. To mapa terenu, a nie sam teren. Mapa pokazuje wszystkie możliwe ścieżki i ich przewyższenia, ale to ty musisz wybrać, którą pójdziesz, mając na uwadze swoją kondycję, pogodę i cel podróży. Kluczowe jest robustne zarządzanie ryzykiem, które wykracza poza samą optymalizację. Dywersyfikacja, regularna rebalansacja portfela i świadomość czarnych łabędzi to elementy, które muszą iść w parze z nawet najbardziej wyrafinowanymi modelami matematycznymi.

Ostateczny przekaz jest więc następujący: w inwestowaniu nie chodzi o to, by za wszelką cenę pokonać rynek i mieć najwyższy możliwy zysk. Taka pogoń często kończy się spektakularną porażką i ogromnym drawdown. Prawdziwy sukces inwestycyjny polega na znalezieniu równowagi – takiej, która pozwala ci spać spokojnie w nocy, jednocześnie systematycznie zbliżając cię do twoich finansowych celów. Chodzi o grę na tyle agresywną, byś mógł osiągnąć swoje marzenia, ale na tyle konserwatywną, byś nie spanikował i nie wycofał się w najgorszym możliwym momencie. Multi objective optimization jest genialnym narzędziem, które właśnie w tym findingu równowagi pomaga. To jak superprecyzyjna waga, która pokazuje dokładnie, ile ryzyka dodajesz, aby uzyskać dodatkowy procent zysku. A reszta, ta najważniejsza część – decyzja, ile tego ryzyka jesteś w stanie unieść – należy już tylko i wyłącznie do ciebie.

Patrząc na powyższą tabelę, inwestor musi więc zadać sobie pytanie: czy jestem gotów zaakceptować prawie 19% spadek wartości moich investments (portfel P3) w zamian za oczekiwany zysk na poziomie 8.1%? A może mój żołądek jest słabszy i wolę ograniczyć ten ból do 12.5%, godząc się na nieco niższy zysk 6.8% oferowany przez portfel P2? A może mój horyzont inwestycyjny jest bardzo długi, a cele ambitne, więc patrzę łakomym okiem na portfel P5, pomimo przerażającego drawdownu na poziomie 30.5%? Nie ma na te pytania dobrych ani złych odpowiedzi. Są tylko uczciwe i nieuczciwe wobec samego siebie. Wybór portfela P1, który teoretycznie jest „najgorszy” pod względem zysku, jest znakomitym wyborem, jeśli pozwala ci on funkcjonować bez stresu i trzymać się strategii przez dziesięciolecia. Z kolei wybór portfela P5, który teoretycznie jest „najlepszy”, będzie katastrofą, jeśli po pierwszym 20% spadku wystraszysz się i wycofasz pieniądze, blokując stratę. Prawdziwa wartość multi objective optimization leży właśnie w tym, że zmusza nas do postawienia sobie tych wszystkich trudnych pytań *zanim* zainwestujemy prawdziwe pieniądze, a nie po fakcie, gdy jest już za późno. To jest najpotężniejsze narzędzie do zarządzania ryzykiem, jakie możesz mieć – narzędzie do zarządzania własną psychiką.